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高等數學梯度計算

文檔格式:PPT| 34 頁|大小 844.50KB|積分 15|2024-10-24 發(fā)布|文檔ID:248452365
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  • 單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,*,第七節(jié) 方向導數與梯度,一、方向導數,二、梯度,一、問題的提出,一塊長方形的金屬板,受熱,產生如圖溫度分布場.,設一個小蟲在板中逃生至某,問該蟲應沿什么方向爬行,,才能最快到達涼快的地點?,處,,問題的,實質,:,應沿由熱變冷變化最劇烈的,方向爬行,需要計算場中各點沿不同方向的溫度變化率,,從而確定出溫度下降的最快方向,引入兩個概念:,方向導數,和,梯度,方向導數問題,梯度問題,討論函數 在一點,P沿某一方向的,變化率問題,二、方向導數,當 沿著 趨于 時,,,是否存在?,記為,的方向導數為,同理,沿,y,軸正向,的方向導數分別為,在點,沿著,軸正向,若偏導 存在,則,方向導數是單側極限,而偏導數是雙側極限.,原因:,證明,由于函數可微,則增量可表示為,方向導數的存在及計算公式,那末函數在該點沿任意方向,l,的方向導數都存在,,定理 如果函數,在點,可微分,,且有,為,軸到方向,l,的轉角,其中,計算公式,故有方向導數,兩邊同除以,得到,故,x,軸到方向,l,的轉角,解,方向,l,即為,所求方向導數,解,由方向導數的計算公式知,(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?,例2,求函數,在點(1,1)沿與,x,軸方向夾角為,的方向射線,的方向導數.,并問在怎樣的方向上此方向導數有,故,方向導數達到最大值,;,方向導數達到最小值,;,方向導數等于,0,.,推廣,:,三元函數方向導數的定義,對于三元函數,它在空間一點,沿著方向,l,的方向導數,,可定義為,其中,),方向導數的計算公式,解,令,故,方向余弦為,求函數,在此處沿方向,的方向導數.,是曲面,例3 設,在點,處的指向外側的法向量,故,三、梯度,設,是方向,l,上的單位向量,,,當 時,,有最大值.,其中,由方向導數公式知,結論,當,不為零時,,x,軸到梯度的轉角的正切為,函數在某點的梯度是這樣一個向量,,它的方向與取得最大方向導數的方向一致,而它的模為方向導數的最大值,梯度的模為,在幾何上 表示一個曲面,曲面被平面 所截,得曲線,它,在,xoy,面,上投影方程:,等高線,稱為,等值線,.,等值線,幾何上,稱為,等高線,.,例如,等值線,上任一點處的一個法向量為,表明:梯度方向與等值線的一個法線方向相同,,它的指向為從數值較低的等值線指向較高的等,梯度的模就等于函數在這個法線方向的,方向導數.,值線,,問題,:,上山時,如何選擇最快的方向?,計算方法課程中的一種計算策略:,“瞎子下山法”,類似于二元函數,此梯度也是一個向量,其方向與取得最大方向導數的方向一致,其模為方向導數的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數,解,由梯度計算公式得,故,則在,處梯度為,例4,求函數,在點,處的梯度,并問在何處梯度為零?,一、,方向導數,(注意方向導數與一般所說偏導數的,區(qū)別),小 結,1.定義,2.計算公式,二、梯度,(注意梯度是一個,向量,),定義,方向:,x,軸到梯度的轉角的正切,模,:,三、方向導數與梯度的關系,方向,與取得最大方向導數的方向一致,模,為方向導數的最大值.,梯度:,其中,思考題,問函數在某點處沿什么方向的方向導數最大?,答:梯度方向,答:,作 業(yè),P.51,習題,8-7,1;4;7;8;10.,練 習 題,練習題答案,。

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    賣家[上傳人]:xiaorong1972
    資質:實名認證